Question

設n∈N^*，不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點（橫、縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）
（1）求（x_n，y_n）；
（2）設數列{a_n}滿足a1=x1，an=

y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)，(n≥2)，求證：n≥2時，

an+1

(n+1 ) 2

-

an

n 2

=

1

n 2

；
（3）在（2）的條件下，比較(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)與4的大小．

Answer 1

分析：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因為x∈N^*，所以x=1，從而x=1與y=-nx+2n的交點為（1，n），即所以D_n內的整點（x_n，y_n）為（1，n）
（2）先化簡為

an

n2

=

1

1 2

+

1

2 2

+…+

1

(n-1 ) 2

，兩式相減即可證得
（3）先猜想：n∈N^*時，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜4，再利用（2）的結論可以證明．

解答：解：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因為x∈N^*，所以x=1
又x=1與y=-nx+2n的交點為（1，n），所以D_n內的整點，按由近到遠排列為：
（1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
（2）證明：n≥2時，an=

y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)=n2(

1

1 2

+

1

2 2

+…+

1

(n-1 ) 2

)
所以

an

n2

=

1

1 2

+

1

2 2

+…+

1

(n-1 ) 2

，

an+1

(n+1)2

=

1

1 2

+

1

2 2

+…+

1

n 2

兩式相減得：

an+1

(n+1 ) 2

-

an

n 2

=

1

n 2

------------------（9分）
（3）n=1時，1+

1

a1

=2＜4，n=2時，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)=

5

2

＜4
可猜想：n∈N^*時，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜4------------------（11分）
事實上n≥3時，由（2）知

1+an

a   n+1

=

n2

(n+1 ) 2

所以(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

1+a1

a1

•

1+a2

a2

•

1+a3

a3

•…•

1+an

an

=

1+a1

a1

•

1

a2

•[

1+a2

a3

•

1+a3

a4

•…•

1+an-1

an

]•(1+an)
=2•

1

4

•(

2

3

)2•(

3

4

)2•…•(

n-1

n

)2•(

n

n+1

)2•an+1
=

2an+1

(n+1)2

=2(

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

) …(13分)
＜2[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

]
=2(1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)＜4-----（15分）

點評：本題以線性規劃為載體，考查數列、不等式的證明，應注意充分挖掘題目的條件，合理轉化