Question

已知拋物線L的方程為x²=2py（p＞0），直線y=x截拋物線L所得弦長為

2

．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直角三角形ABC的三個頂點在拋物線L上，且直角頂點B的橫坐標為1，過點A、C分別作拋物線L的切線，兩切線相交于點D，直線AC與y軸交于點E，當直線BC的斜率在[3，4]上變化時，直線DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直線BC的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立方程組，利用弦長公式，直接求出p的值；
（Ⅱ）設A（x1，x12），C（x2，x22），設BC的斜率為k，

y-1=k(x-1) x2=y

，求出k_AC，得到直線AC的方程，求出ED的斜率，利用函數的單調性求出斜率AD的最大值，求出BC的方程．

解答：（Ⅰ）  解：由

y=x x2=2py

解得A（0，0），B（2p，2p）…2分
∴

2

=AB=

4p2+4p2

=2

2

p，
∴p=

1

2

  …5分
（Ⅱ） 解：B（1，1），設A（x1，x12），C（x2，x22），kAC=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x₁+x₂，
設BC的斜率為k，則

y-1=k(x-1) x2=y

⇒x²-kx+k-1=0，
△=k²-4k+4≥0，
又1+x₂=k⇒x₂=k-1，C（k-1，（k-1）²），A(-

1

k

-1，(

1

k

+1)2)，
k_AC=x₁+x₂=k-

1

k

-2，
直線AC的方程為y-（k-1）²=（k-

1

k

-2）[x-（k-1）]，
令x=0，y=k-

1

k

，所以E（0，k-

1

k

），
AD：y-x12=2x₁（x-x₁）⇒y=2x₁x-x12，
同理CD：y=2x₂x-x22，
聯立兩方程得D（

1

2

（k-

1

k

-2），

1

k

-k），E（0，k-

1

k

），k_ED=

k- 1 k +k- 1 k

1 2 (2+ 1 k -k)

=-4(1+

2

k- 1 k -2

)，
令u=

1

k

-k，在[3，4]遞減，所以，當k=4時，k_ED最大為-

60

7

，
所以，BC的方程為y-1=4（x-1）即4x-y-3=0…12分

點評：本題是中檔題，考查直線與圓錐曲線方程的綜合問題，設而不求的思想，韋達定理的應用，函數的單調性等知識，考查計算能力轉化思想的應用．