Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=2AB．
（I）證明：PC⊥BD；
（II）求PB與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）證明BD⊥PC，利用三垂線定理，即可證得；
（II）判斷BO⊥面PAC，可得∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角，利用正弦函數即可求得．

解答：（I）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PC在底面上的射影為AC
∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC
∴BD⊥PC；
（II）解：設正方形的中心為O．
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，∴∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角．
設AB=1，則PA=2，BO=

2

2

，PB=

5

∴sin∠BPO=

10

10

即所求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為

10

10

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，正確作出線面角是關鍵．