Question

設函數f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區間I＝{x|f(x)>0}．

(1)求I的長度(注：區間(α，β)的長度定義為β－α)；

(2)給定常數k∈(0,1)，當1－k≤a≤1＋k時，求I長度的最小值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)因為方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個實根x1＝0，x2＝.故f(x)>0的解集為{x|x1<x<x2}．因此區間I＝，I的長度為.

(2)設d(a)＝，則d′(a)＝.

令d′(a)＝0，得a＝1.由于0<k<1，故當1－k≤a<1時，d′(a)>0，d(a)單調遞增；

當1<a≤1＋k時，d′(a)<0，d(a)單調遞減．

所以當1－k≤a≤1＋k時，

d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k處取得．

而＝＝<1.

故d(1－k)<d(1＋k)．因此當a＝1－k時，d(a)在區間[1－k，1＋k]上取得最小值