Question

（（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：（a>0，b>0）經過點A（，），且點F（0，－1）為其一個焦點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E與y軸的兩個交點為A₁，A₂，不在y軸上的動點P在直線y＝b²上運動，直線PA₁，PA₂分別與橢圓E交于點M，N，證明：直線MN通過一個定點，且△FMN的周長為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據題意可得 
可解得
∴橢圓的方程為┈┈┈┈┈4分
（Ⅱ）不妨設，
為直線上一點，，
直線方程為，直線方程為
點，的坐標滿足方程組            可得
點，的坐標滿足方程組   可得
由于橢圓關于軸對稱，當動點在直線上運動時，直線通過的定點必在軸上，
當時，直線的方程為，令，得可猜測定點的坐標為，并記這個定點為
則直線的斜率
直線的斜率
∴，即三點共線，故直線通過一個定點，
又∵，是橢圓的焦點，
∴周長=。┈┈┈┈┈12分

略