Question

【題目】已知命題甲:對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立；命題乙:已知滿足，且恒成立.

（1）分別求出甲乙為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使命題甲乙中有且只有一個(gè)真命題.

Answer 1

【答案】（1）甲為真命題時(shí)，；乙為真命題時(shí)，（2）或

【解析】

（1）甲為真命題時(shí)，先轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象解得實(shí)數(shù)的取值范圍，乙為真命題時(shí)，利用基本不等式求得最小值，再根據(jù)恒成立得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）分類求交集：甲真乙假與乙真甲假，最后求并集得結(jié)果.

（1）

當(dāng)時(shí)，成立；

當(dāng)時(shí)，要使恒成立，需

綜上，甲為真命題時(shí)，；

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

恒成立，

綜上， 乙為真命題時(shí)，

（2）命題甲乙中有且只有一個(gè)真命題，即甲真乙假與乙真甲假，

所以或

即或