Question

【題目】如圖，某地三角工廠分別位于邊長(zhǎng)為2的正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)及中點(diǎn)處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）與等距的點(diǎn)處建一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，記輔設(shè)管道總長(zhǎng)為千米.

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

（i）設(shè)，將表示成的函數(shù)；

（ii）設(shè)，將表示成的函數(shù)；

（2）請(qǐng)你選用一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水廠位置，使鋪設(shè)管道總長(zhǎng)最短.

Answer 1

【答案】（1）（i）（，其中）.（ii).

（2）污水廠設(shè)在與直線距離處

【解析】

（1）（i）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；

（ii）由題意，則，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；

（2）設(shè)，，則，然后利用基本不等式求最值．

解：

（1）（i）設(shè)中點(diǎn)，則，，，，

∴（，其中）；

（ii），，

；

（2）設(shè)，，則，

，

當(dāng)，即時(shí)，取最小值，

∴污水廠設(shè)在與直線距離處時(shí)，鋪設(shè)管道總長(zhǎng)最短，最短長(zhǎng)度為千米．