Question

（本題滿分12分）設函數f (x) =(b，c∈N^*)，若方程f(x) = x的解為0，2，且f (–2)＜–．（Ⅰ）試求函數f(x)的單調區間；（Ⅱ）已知各項不為零的數列{a_n}滿足4S_n·f () = 1，其中S_n為{a_n}的前n項和．求證：．

Answer 1

(Ⅰ)f(x)的單調遞增區間為（–∞，0），（2，+∞）單調遞減區間為（0，1），（1，2）(Ⅱ) 略

（Ⅰ）解
．------（2分）
由f (–2) =又∵b，c∈N^*   ∴c = 2，b = 2
∴f (x) =．-------（4分）
令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2，令f′(x)＜0得：0＜x＜2∴f(x)的單調遞增區間為（–∞，0），
（2，+∞）f(x)的單調遞減區間為（0，1），（1，2）--------（6分）
（Ⅱ）證明：由已知可得：2S_n = a_n – ， 
兩式相減得：(a_n + a_{n – 1}) (a_n – a_{n – 1}+1) =" 0" （n≥2）∴a_n = –a_n–1或a_n –a_n–1 =" –1 " -（7分）
當n ="1" 時，2a₁ = a₁ –
若a_n = –a_n–1，則a₂ = –a₁ = 1與a_n≠1矛盾．（定義域要求a_n≠1）∴a_n – a_n–1 = 1，∴a_n= –n．（8分）
要證的不等式轉化為

先證不等式令g (x) = x –ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) –-----（10分）
則g′(x) =，h′(x) =∵x＞0  ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上單調遞增，
∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) =" 0  " ∴。
故，即-----（12分）