Question

在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q₁為0.25，在B處的命中率為q₂，該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為：

ξ	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

（1）求q₂的值；
（2）求隨機變量ξ的數學期望Eξ；
（3）試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小．

Answer 1

分析：（1）記出事件，該同學在A處投中為事件A，在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨立，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（2）根據上面的做法，做出分布列中四個概率的值，寫出分布列算出期望，過程計算起來有點麻煩，不要在數字運算上出錯．
（3）要比較兩個概率的大小，先要把兩個概率計算出來，根據相互獨立事件同時發生的概率公式，進行比較．

解答：解：（1）設該同學在A處投中為事件A，
在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨立，
且P（A）=0.25，P（

.

A

）=0.75，P（B）=q₂，P（

.

B

）=1-q₂．
根據分布列知：ξ=0時P（

.

A

.

B

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

B

）=0.75（1-q₂）²=0.03，
所以1-q₂=0.2，q₂=0.8；

（2）當ξ=2時，P₁=P=（

.

A

B

.

B

+

.

A

.

B

B）=P（

.

A

B

.

B

）+P（

.

A

.

B

B）
=P（

.

A

）P（B）P（

.

B

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（B）
=0.75q₂（1-q₂）×2=1.5q₂（1-q₂）=0.24
當ξ=3時，P₂=P（A

.

B

.

B

）=P（A）P（

.

B

）P（

.

B

）=0.25（1-q₂）²=0.01，
當ξ=4時，P₃=P（

.

A

BB）P（

.

A

）P（B）P（B）=0.75q₂²=0.48，
當ξ=5時，P₄=P（A

.

B

B+AB）=P（A

.

B

B）+P（AB）
=P（A）P（

.

B

）P（B）+P（A）P（B）=0.25q₂（1-q₂）+0.25q₂=0.24
隨機變量ξ的數學期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×048+5×0.24=3.63；

（3）該同學選擇都在B處投籃得分超過（3分）的概率為P（

.

B

BB+B

.

B

B+BB）
=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2（1-q₂）q₂²+q₂²=0.896；
該同學選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72．
由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大．

點評：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設置密切貼近現實生活的情境，考查概率思想的應用意識和創新意識．體現數學的科學價值．