Question

（2013•濱州一模）定義平面向量的一種運(yùn)算：

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，則下列命題：
①

a

?

b

=

b

?

a

；
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

；
③（

a

+

b

）?

c

=（

a

?

c

）+（

b

?

c

）；
④若

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），則

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中真命題是

①②③④

（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：①根據(jù)定義不難得出

a

?

b

=

b

?

a

是正確的；
②需對參數(shù)λ進(jìn)行分類討論，再依據(jù)定義即可判斷其正確性；
③直接代入定義即可驗(yàn)證；
④根據(jù)給出的兩向量

a

，

b

的坐標(biāo)，求出對應(yīng)的模，運(yùn)用向量數(shù)量積公式求兩向量夾角的余弦值，則正弦值可求，最后直接代入定義即可．

解答：解：①由于

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，則

b

?

a

=|

b

|•|

a

|sin＜

b

，

a

＞=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞=

a

?

b

，故①正確；
②由于

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，
當(dāng)λ＞0時(shí)，λ（

a

?

b

）=λ|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，
（λ

a

）?

b

=|λ

a

|•|

b

|sin＜λ

a

，

b

＞=λ|

a

|•|

b

|sin＜λ

a

，

b

＞=λ|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，故λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

當(dāng)λ=0時(shí)，λ（

a

?

b

）=0=（λ

a

）?

b

，故λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

當(dāng)λ＜0時(shí)，λ（

a

?

b

）=λ|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞
（λ

a

）?

b

=|λ

a

|•|

b

|sin＜λ

a

，

b

＞=-λ|

a

|•|

b

|sin＜λ

a

，

b

＞=-λ|

a

|•|

b

|×（-sin＜

a

，

b

＞）=λ|

a

|•|

b

|sin＜

a

，

b

＞，故λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

故②正確；
③類比數(shù)量積的類似性質(zhì)可證，③正確；
④令

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），則|

a

|=

x12+y12

，|

b

|=

x22+y22

，
則cos＜

a

，

b

＞=

x1x2+y1y2

x12+y12 • x22+y22

，
即有sin＜

a

，

b

＞=

|x1y2-x2y1|

x12+y12 • x22+y2