Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為2的菱形，平面，平面，， .

（1）當長為多少時，平面平面？

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）二面角E-AC-F的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量垂直列方程組，解得各面法向量，根據平面垂直得兩法向量數量積為零，解得長，（2）利用方程組先解出各面法向量，根據向量數量積求兩法向量夾角，再根據二面角與向量夾角關系求結果.

試題解析：（1）連接BD交AC于點O，則AC⊥BD.

取EF的中點G，連接OG，則OG∥DE.

∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.

∴OG，AC，BD兩兩垂直.

∴以AC，BD，OG所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），

設，

由題意，易求，

∴，

設平面AEF，平面CEF的法向量分別為，

由，，得，∴

解得. 令，∴.

同理可求.

若平面AEF⊥平面CEF，則，

∴，

解得或（舍），

即BF長為時，平面AEF⊥平面CEF.

（2）當時，，

∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，

∴EF⊥平面AFC，

∴平面AFC的一個法向量為，

設平面AEC的一個法向量為，則

，∴，得，

令，得，∴.

從而.

故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.