Question

【題目】設集合A={0，﹣4}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}．若BA，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由BA可得B=，或{0}，或{﹣4}，或{0，﹣4}．

當B=時，方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0無實根，

△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得a＜﹣1；

當B為單元素集合時，方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有兩個相等的實根，

△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=0，解得a=﹣1，方程為x2=0，解得B={0}；

當B為2元素集合時，B={0，﹣4}，方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有兩個不相等的實根0和﹣4，

△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＞0，解得a＞﹣1，將x=0代入方程得a=1，將x=﹣4代入方程得a=1，或a=7．

檢驗a=7，B中不含0，不成立．

綜上所述，a的取值范圍是：a≤﹣1，或a=1

【解析】分類討論：由BA可得B=，或{0}，或{﹣4}，或{0，﹣4}．

當B=時，方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0無實根，由△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0解a的范圍；

當B為單元素集合時，方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有兩個相等的實根，

由△=0解a的值，代入方程驗證是否符合題意；

當B為2元素集合時，B={0，﹣4}，方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有兩個不相等的實根0和﹣4，

由△＞0，解a的范圍，將x=0和x=﹣4分別代入方程求出a的值，與a的范圍取交集．