Question

已知映射f：P(m，n)→P′(

m

，

n

)（m≥0，n≥0）．設(shè)點(diǎn)A（1，3），B（3，1），點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，f：M→M′，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：根據(jù)所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線的方程，設(shè)出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)所給的映射的對(duì)應(yīng)法則得到兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入直線的方程求出一個(gè)圓的方程，得到軌跡是一個(gè)圓弧，求出弧長(zhǎng)．

解答：解：由題意知AB的方程為：x+y=4，
設(shè)M′（x，y），則M（x²，y²），從而有x²+y²=4，
按照映射f：P(m，n)→P′(

m

，

n

)（m≥0，n≥0），可得 A（1，3）→A′（1，

3

），B（3，1）→B′（

3

，1），
∴tan∠A′OX=

3

，∴∠A′OX=

π

3

，
tan∠B′OX=

3

3

，∴∠B′OX=

π

6

，
∴∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=

π

6

，
點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度為弧長(zhǎng)

π

6

×2=

π

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以定義的一種新的變換為入手點(diǎn)，主要考查直線與圓的有關(guān)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是弄懂定義的本質(zhì)．