Question

【題目】如圖，已知A，B，C，D四點共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC= ．

（1）求sin∠DBC；
（2）求AD．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△BDC中，因為 ，

所以 ．

由正弦定理 得， ．

（2）解：在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DCDBcos∠BDC，

得， ．

所以 ．

解得 或 （舍）．

由已知得∠DBC是銳角，又 ，

所以 ．

所以cos∠ABD=cos（120°﹣∠DBC）=cos120°cos∠DBC+sin120°sin∠DBC= = ．

在△ABD中，因為AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcos∠ABD= ，

所以 ．

【解析】（1）利用已知及同角三角函數基本關系式可求 ，進而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（2）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函數基本關系式可求 ，進而利用兩角差的余弦函數公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．