Question

【題目】已知過雙曲線C： =1（a＞0，b＞0）的中心的直線交雙曲線于點A，B，在雙曲線C上任取與點A，B不重合的點P，記直線PA，PB，AB的斜率分別為k1 ， k2 ， k，若k1k2＞k恒成立，則離心率e的取值范圍為（ ）
A.1＜e＜
B.1＜e≤
C.e＞
D.e≥

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設A（x1 ， y1），P（x2 ， y2），
由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線 =1的交點，
∴由雙曲線的對稱性得A，B關于原點對稱，
∴B（﹣x1 ， ﹣y1），
∴k1k2= = ，
∵點A，P都在雙曲線上，
∴ ﹣ =1， ﹣ =1，
兩式相減，可得： = ，
即有k1k2= ，又k= ，
由雙曲線的漸近線方程為y=± x，則k趨近于 ，
k1k2＞k恒成立，則 ≥ ，
即有b≥a，即b2≥a2 ，
即有c2≥2a2 ，
則e= ≥ ．
故選D．