Question

【題目】已知函數（其中），若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍是________________.

Answer 1

【答案】

【解析】

判斷函數f（x）是R上的奇函數，且是增函數；把f（x2+2）+f（﹣2ax）≥0恒成立化為x2+2≥2ax恒成立，設g（x）=x2﹣2ax+2，利用二次函數的圖象與性質，即可求出實數a的取值范圍．

函數（其中e≈2.718），x∈R；

且f（﹣x）=e﹣x﹣ex+ln（﹣x+）=﹣（ex﹣e﹣x）﹣ln（x+）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函數，

又f′（x）=ex+e﹣x+＞0恒成立，

∴f（x）是定義域R上的單調增函數；

若對任意的x∈[﹣1，2]，f（x2+2）+f（﹣2ax）≥0恒成立，

∴f（x2+2）≥﹣f（﹣2ax）恒成立，

∴f（x2+2）≥f（2ax）恒成立，

∴x2+2≥2ax恒成立，

即x2﹣2ax+2≥0在x∈[﹣1，2]上恒成立；

設g（x）=x2﹣2ax+2，其對稱軸為x=a，且開口向上；

應滿足或或；

解得﹣≤a＜-1或或﹣1≤a≤；

∴實數a的取值范圍是﹣≤a≤．

故答案為：﹣≤a≤．