Question

已知雙曲線x²-y²=2，過定點P（2，0）作直線l與雙曲線有且只有一個交點，則這樣的直線l的條數為（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

Answer 1

分析：設直線l的方程為y=k（x-2），與雙曲線的方程聯立轉化為分類討論其解的情況，即可得出．

解答：解：如圖所示．
由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-2），
聯立

y=k(x-2) x2-y2=2

，化為（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
①當1-k²=0時，解得k=±1，得到直線l：y=±（x-2），分別與漸近線y=±x平行，因此與雙曲線只有一個交點，滿足題意；
②當1-k²≠0時，由△=16k⁴-4（1-k²）（-4k²-2）=0，解得k=±

3

3

．
得到直線l：y=±

3

3

(x-2)，此時直線l分別與雙曲線的作支相切，故只有一個交點．
綜上可知：過定點P（2，0）作直線l與雙曲線有且只有一個交點的這樣的直線l只有4條．
故選D．

點評：本題考查了直線與雙曲線的位置關系轉化為方程聯立利用△分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．