Question

【題目】定義在R上的函數f（x），f（0）≠0，f（1）=2，當x＞0，f（x）＞1，且對任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用定義證明；
（3）求不等式f（3﹣2x）＞4的解集．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令a=b=0，

則f（0）=f（0）f（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1，

當x＜0時，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞1，

∵f（0）=f（x）f（﹣x）=1，

∴f（x）= ，

∵f（﹣x）＞1，∴0＜ ＜1，即0＜f（x）＜1，

又當x＞0，f（x）＞1； 且f（0）=1，

所以對任意x∈R，都有f（x）＞0

（2）解：f（x）在R上是增函數，

證明如下：設x1＜x2，

則f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1），

∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又f（x1）＞0，

∴f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在R上是增函數

（3）解：∵f（2）=f（1）f（1）=4，

∴f（3﹣2x）＞4f（3﹣2x）＞f（2），

∵f（x）在R上是增函數，

∴3﹣2x＞2，

解得x＜ ．

∴不等式f（3﹣2x）＞4的解集為（﹣∞， ）

【解析】（1）先令a=b=0計算f（0）=1，當x＜0時，f（x）= ＞0，從而得出結論；（2）設x1＜x2 ， 則f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），于是f（x）在R上是增函數；（3）f（2）=4，利用函數的單調性得出3﹣2x＞2，解出答案．