Question

【題目】已知函數，

（1）當時，證明：函數不是奇函數；

（2）判斷函數的單調性，并利用函數單調性的定義給出證明；

（3）若是奇函數，且在時恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，，因為，，

所以，故不是奇函數； ……………………………………4分

（Ⅱ）函數在上為單調增函數， ………………………………………… 6分

證明：設，則……… 8分

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故。

∴函數在上為單調增函數。…………………………………………………10分

（Ⅲ）因為是奇函數，所以對任意恒成立。

即對任意恒成立．

化簡整理得對任意恒成立． ∴…………………12分

又因為在時恒成立，

所以在時恒成立，

令，設，且，

則

由（Ⅱ）可知，，又，

所以，即，

故函數在上是增函數。………………………14分

所以，由。

因此的取值范圍是。 ………………………………………………16分

【解析】試題分析：（1）舉個反例，使得f（-a）≠-f（a）即可；（2）利用函數的單調性進行證明即可，注意指數函數y=2x性質的運用；（3）先根據題意求出a的值，然后f（x）≥x2-4x+m在x∈[-2，2]時恒成立，將式子變形為f（x）-（x2-4x）≥m在x∈[-2，2]時恒成立即可，在研究左邊函數的單調性，求出其最小值即可

試題解析：（1）當時，，因為，，

所以，故不是奇函數；

（2）函數在上為單調增函數，

證明：設，則

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故

∴函數在上為單調增函數

（3）因為是奇函數，所以對任意恒成立。

即對任意恒成立．

化簡整理得對任意恒成立． ∴

因為在時恒成立，

令，設，且，

則

由（2）可知，，又，

所以，即，

故函數在上是增函數 (直接判斷出單調性也給分)

所以，由

因此的取值范圍是