Question

設數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-2S_n；數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n為數列{c_n}的前n項和．求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知條件b_n=2-2S_n；當n=1時先求出b1=

2

3

，再利用b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2bn

bn

bn-1

=

1

3

得到{b_n}是以b1=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式求出通項．
（2）求出cn=an•bn=2(3n-1)•

1

3n

，是一個等差數列與一個等比數列的乘積，所以利用錯位相減的方法求出和．

解答：解：（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，則b₁=2-2S₁，又S₁=b₁
所以b1=

2

3

…（2分）
當n≥2時，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即

bn

bn-1

=

1

3

…（4分）
所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，
于是bn=2•

1

3n

…（6分）
（2）數列{a_n}為等差數列，公差d=

1

2

(a7-a5)=3，可得a_n=3n-1…（7分）
從而cn=an•bn=2(3n-1)•

1

3n

∴Tn=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+(3n-1)•

1

3n

]，

1

3

Tn=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+(3n-4)•

1

3n

+(3n-1)•

1

3n+1

]∴

2

3

Tn=2[2•

1

3

+3•

1

32

+3•

1

33

+…+3•

1

3n

-(3n-1)

1

3n+1

]…（11分）Tn=

7

2

-

1

2•3n-2

-

3n-1

3n

．…（12分）

點評：求一個數列的前n項和，應該先求出數列的通項，根據通項的特點選擇合適的求和方法．