Question

【題目】已知函數

（1）證明：在上單調遞減；

（2）已知在單調遞增，記函數的最小值為.

①求的表達式；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②2.

【解析】

（1）直接利用單調性的定義證明；

（2）①先求得函數在時的最小值，再看當時，函數的最小值，只需對a討論，借助于二次函數的單調性求得答案．

②直接由解析式得解.

（1）任取x1，x2∈（0，1），設x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）＝

．

∵0＜x1＜x2＜1，∴，∴＜2，

∴0，即f（x1）﹣f（x2）>0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數f（x）在（0，1）上單調遞減；

（2）①∵在單調遞增，∴函數在時滿足在（0，1）上單調遞減，在單調遞增，此時在時的最小值為，

當時，對稱軸為，

當時，二次函數開口向上，；

當a＞0時，函數在時單調遞減，函數在時．

當時，即a>1時，，

當<a≤時，，

綜上，；

②由，可得當a=1時，函數有最大值為.