Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx，（a≠0）
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）若a=1，b=-2設(shè)f（x）的圖象C₁與g（x）的圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點(diǎn)M、N，M、N的橫坐標(biāo)是m，求證：f′（m）＜g′（m）．

Answer 1

分析：（1）h（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調(diào)，等價(jià)于h'（x）=0在（0，+∞）有實(shí)根，且不為重根，由此可求a的取值范圍；
（2）利用分析法證明，設(shè)P（x₁，y₁） Q（x₂，y₂），且x₁＜x₂，證明f′（m）＜g′（m），只要證明

2

x1+x2

＜

x1+x2

2

-2即可．

解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx，（a≠0），b=2，
∴h（x）=lnx-

1

2

ax2-2x，x∈（0，+∞）
∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）在定義域上不單調(diào)，
∴h'（x）=

1

x

-ax-2=0在（0，+∞）有實(shí)根，且不為重根
即ax²+2x-1=0在（0，+∞）有實(shí)根，且不為重根
∴a＞0或

a＜0 △=4+4a＞0 - 2 a ＞0 - 1 a ＞0

∴a＞0或-1＜a＜0
∴a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）．
（2）證明：f'（x）=

1

x

，g'（x）=x-2
設(shè)P（x₁，y₁） Q（x₂，y₂），且x₁＜x₂
PQ中點(diǎn)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），只要證明

2

x1+x2

＜

x1+x2

2

-2
又只要證明：

2(x2-x1)

x2+x1

＜

(x2+x1)(x2-x1)

2

-2(x2-x1)
只要證明：

2(x2-x1)

x2+x1

＜lnx2-lnx1
令

x2

x1

=t∈(1，+∞)，只要證明：

2(t-1)

t+1

＜lnt，t∈（1，+∞）
令F（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，則F'（t）＞0，所以F（t）在（1，+∞）范圍內(nèi)為增函數(shù)
又F（1）=0，所以F（t）＞0在（1，+∞）范圍內(nèi)恒成立；
故得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．