Question

如圖，圓C：x²-（1+a）x+y²-ay+a=0．
（Ⅰ）若圓C與x軸相切，求圓C的方程；
（Ⅱ）已知a＞1，圓C與x軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側）．過點M任作一條直線與圓O：x²+y²=4相交于兩點A，B．問：是否存在實數a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出實數a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在圓的方程中，令y=0，可得關于x的一元二次方程的判別式等于零，由此求得a的值，從而求得所求圓C的方程．
（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假設存在實數a，當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-1），代入x²+y²=4，利用韋達定理，根據NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．經過檢驗，當直線AB與x軸垂直時，這個a值仍然滿足∠ANM=∠BNM，從而得出結論．

解答：（Ⅰ）因為由

y=0 x2-(1+a)x+y2-ay+a=0

可得x²-（1+a）x+a=0，
由題意得△=（1+a）²-4a=（a-1）²=0，所以a=1，
故所求圓C的方程為x²-2x+y²-y+1=0．
（Ⅱ）令y=0，得x²-（1+a）x+a=0，即（x-1）（x-a）=0，求得x=1，或x=a，
所以M（1，0），N（a，0）．
假設存在實數a，當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

．
因為NA、NB的斜率之和為

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

k[(x1-1)(x2-a)+(x2-1)(x1-a)]

(x1-a)(x2-a)

，
而（x₁-1）（x₂-a）+（x₂-1）（x₁-a）=2x₁x₂-（a+1）（x₂+x₁）+2a=2

k2-4

1+k2

-(a+1)

2k2

1+k2

+2a=

2a-8

1+k2

，
因為∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互為相反數，

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，即

2a-8

1+k2

=0，得a=4．
當直線AB與x軸垂直時，仍然滿足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互為相反數．
綜上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．

點評：本題主要考查求圓的標準方程，直線和圓的位置關系，直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題．