Question

【題目】如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（I）證明：EF⊥DB；

（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

（I）作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據勾股定理可證得，又，可得，，即得平面，即證得；

（II）由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）作交于，連接．

∵平面平面，而平面平面，平面，

∴平面，而平面，即有．

∵，

∴．

在中，，即有，∴．

由棱臺的定義可知，，所以，，而，

∴平面，而平面，∴．

（Ⅱ）因為，所以與平面所成角即為與平面所成角．

作于，連接，由（1）可知，平面，

因為所以平面平面，而平面平面，

平面，∴平面．

即在平面內的射影為，即為所求角．

在中，設，則，，

∴．

故與平面所成角的正弦值為．