Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB，PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若PA=AD且AD=2，CD=3，求P-CE-A的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC中點(diǎn)M，連ME，MF，利用三角形的中位線證明四邊形AFME為平行四邊形，從而證明AF∥平面PCE．
（Ⅱ）延長(zhǎng)DA，CE交于N，連接PN，過(guò)A作AH⊥CN于H連PH．利用PA⊥平面ABCD，根據(jù)三垂線定理可得PH⊥CN，從而可知∠PHA為二面角P-EC-A的平面角，進(jìn)而可求其正切值．

解答：證明：（Ⅰ）取PC中點(diǎn)M，連ME，MF
∵FM∥CD，F(xiàn)M=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD
∴AE∥FM，且AE=FM，即四邊形AFME是平行四邊形
∴AF∥EM，
∵AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE…（6分）
（Ⅱ）延長(zhǎng)DA，CE交于N，連接PN，過(guò)A作AH⊥CN于H連PH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PH⊥CN（三垂線定理）
∴∠PHA為二面角P-EC-A的平面角…（8分）
∵AD=2，CD=3
∴CN=5，即EN=

5

2

，PA=AD
∴PA=2，∴AH=

AN•AE

EN

=

2• 3 2

5 2

=

6

5

∴tan∠PHA=

PH

AH

=

2

6 5

=

5

3

∴二面角P-EC-A的正切值為

5

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以線面垂直為載體，考查直線和平面平行的判定，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行的判定定理，正確作出面面角．