Question

【題目】已知兩定點，點是平面內的動點，且,記的軌跡是

（1）求曲線的方程；

（2）過點引直線交曲線于兩點，設，點關于軸的對稱點為，證明直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

設，根據條件列方程化簡即可；（2）先探究特殊性，當點Q為橢圓的上頂

點（0，）時，直線RN過定點P(4,0).再討論一般情形，設直線l:點R,N,P三點共線，因此直線RN經過定點P(4,0).

（1）設，，，

則，，

由于，

即，設，，

則，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

故，，，

所以，動點的軌跡的方程為：．

如圖所示，

先探究特殊性，當點Q為橢圓的上頂點（0，）時，直線l:,

聯立直線和橢圓方程得,

直線RN:令y=0,得x=4,

所以直線RN過定點P(4,0).

下面證明一般情形：

設直線l:

聯立，

判別式

所以

即，

設，于是，

，

又，

解得，

所以，

所以點R,N,P三點共線，因此直線RN經過定點P(4,0).

綜上，直線RN經過定點P(4,0).