Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量 =（2a，1）， =（2b﹣c，cosC），且 ∥ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 ，求b+c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）向量 =（2a，1）， =（2b﹣c，cosC），且 ∥ ；∴2acosC﹣（2b﹣c）=0，
即2acosC=2b﹣c；
由正弦定理得，2sinAcosC=2sinB﹣sinC，
即2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，
化簡得2cosAsinC=sinC，
即cosA= ；
又A∈（0，π），
∴A= ；
（Ⅱ）△ABC中，A= ，a= ，
設△ABC外接圓的直徑為2r，
由正弦定理得2r= = =2，
∴b+c=2sinB+2sinC
=2[sin（120°﹣C）+sinC]
=4sin60°cos（60°﹣C）
=2 cos（60°﹣C）；
∵﹣60°＜60°﹣C＜60°，
∴1≥cos（60°﹣C）＞ ，
∴2 ≥2 cos（60°﹣C）＞ ，
即b+c的取值范圍是（ ，2 ]
【解析】（Ⅰ）根據平面向量的坐標運算與共線定理，利用正弦定理與三角形的內角和定理，即可求出A的值；（Ⅱ）利用正弦定理求出b+c的表達式，再根據角C的取值范圍，即可求出b+c的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．