Question

已知函數在上是減函數，在上是增函數，函數在上有三個零點，且1是其中一個零點．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍；
（3）試探究直線與函數的圖像交點個數的情況，并說明理由．

Answer 1

（1）0（2）（3）見解析

（1）解：∵，∴．
∵在上是減函數，在上是增函數，
∴當時，取到極小值，即．
∴．
（2）解：由（1）知，，
∵1是函數的一個零點，即，∴．
∵的兩個根分別為，．
∵在上是增函數，且函數在上有三個零點，
∴，即．∴．
故的取值范圍為．
（3）解：由（2）知，且．
要討論直線與函數圖像的交點個數情況，
即求方程組解的個數情況．
由，得．
即．
即．
∴或．
由方程，                    （*）
得．
∵，
若，即，解得．此時方程（*）無實數解．
若，即，解得．此時方程（*）有一個實數解．
若，即，解得．此時方程（*）有兩個實數解，分別為，．
且當時，，．
綜上所述，當時，直線與函數的圖像有一個交點．
當或時，直線與函數的圖像有二個交點．
當且時，直線與函數的圖像有三個交點．