Question

已知函數.
（1）當時，判斷的奇偶性，并說明理由；
（2）當時，若，求的值；
（3）若，且對任何不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）既不是奇函數，也不是偶函數；（2）所以或；（3）當時，的取值范圍是，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是．

試題分析：（1）時，為確定的函數，要證明它具有奇偶性，必須按照定義證明，若要說明它沒有奇偶性，可舉一特例，說明某一對值與不相等（不是偶函數）也不相反（不是奇函數）．（2）當時，為，這是含有絕對值符號的方程，要解這個方程一般是分類討論絕對值符號里的式子的正負，以根據絕對值定義去掉絕對值符號，變成通常的方程來解．（3）不等式恒成立時要求參數的取值范圍，一般要把問題進行轉化，例如分離參數法，或者轉化為函數的最值問題．即為，可以先把絕對值式子解出來，這時注意首先把分出來，然后討論時，不等式化為，于是有，即，這個不等式恒成立，說明，這時我們的問題就轉化為求函數的最大值，求函數的最小值．
試題解析：（1）當時，既不是奇函數也不是偶函數（2分）

所以既不是奇函數，也不是偶函數  （4分）
（2）當時，，
由得 （1分）
即 （3分）
解得  （5分）
所以或   （6分）
（3）當時，取任意實數，不等式恒成立，
故只需考慮，此時原不等式變為 （1分）
即
故      
又函數在上單調遞增，所以；（2分）
對于函數
①當時，在上單調遞減，，又，
所以，此時的取值范圍是（3分）
②當，在上，，
當時，，此時要使存在，
必須有，此時的取值范圍是（4分）
綜上，當時，的取值范圍是
當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是   （6分）