Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對x1x2∈R，且x1＜x2 ， f（x1）≠f（x2），證明方程f（x）= 必有一個實數根屬于（x1 ， x2）．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件
①當x=﹣1時，函數f（x）有最小值0；
②對任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤ 若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+c=0即b=a+c，

故△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2

當a=c時，△=0，函數f（x）有一個零點；

當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點

（2）解：令g（x）=f（x）﹣ ，

∵g（x1）=f（x1）﹣ =

g（x2）=f（x2）﹣ =

∴g（x1）g（x2）=

∵f（x1）≠f（x2），

故g（x1）g（x2）＜0

∴g（x）=0在（x1，x2）內必有一個實根．

即方程f（x）= 必有一個實數根屬于（x1，x2）

（3）解：假設a，b，c存在，由①得 =﹣1， =0

∴b=2a，c=a．

由②知對任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤

令x=1得0≤f（1）﹣1≤0

∴f（1）=1

∴a+b+c=1

解得：a=c= ，b= ，

當a=c= ，b= 時，f（x）= x2+ x+ = （x+1）2，其頂點為（﹣1，0）滿足條件①，

又f（x）﹣x= x2﹣ x+ = （x﹣1）2，對任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤ ，滿足條件②．

∴存在a=c= ，b= ，使f（x）同時滿足條件①、②．

【解析】（1）通過對二次函數對應方程的判別式進行分析判斷方程根的個數，從而得到零點的個數；（2）若方程f（x）= 必有一個實數根屬于（x1 ， x2），則函數g（x）=f（x）﹣ 在（x1 ， x2）必有一零點，進而根據零點存在定理，可以證明（3）根據條件①和二次函數的圖象和性質，可得b=2a，c=a，令x=1，結合條件②，可求出a，b，c的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和函數的零點的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．