Question

【題目】如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為菱形，且， ， ∥， 為中點．

（Ⅰ）求證： ∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使 ？ 若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取 中點，連結，利用面面平行平面∥平面，得到線面平行∥平面；（Ⅱ）取中點，連結， ，先證兩兩垂直，故可以為原點， 為軸，建立空間直角坐標系，求出的方向向量，面的法向量，利用可得結果；（Ⅲ）設是上一點，且，根據共線可得的坐標，結合數量積為0，可得結果.

試題解析：（Ⅰ）

取 中點，連結．

因為分別為中點，所以∥．

又平面且平面，所以∥平面，

因為∥， ，所以∥， ．

所以四邊形為平行四邊形．所以∥．

又平面且平面，所以∥平面，

又，所以平面∥平面．

又平面，所以∥平面．

（Ⅱ）

取中點，連結， ．因為，所以．

因為平面平面，所以平面， ．

因為， ，所以△為等邊三角形．

因為為中點，所以．

因為兩兩垂直，設，以為原點， 為軸，如圖建立空間直角坐標系，由題意得， ， ， ， ，

， ， ， ， ．

設平面的法向量為，則即

令，則， ．所以．

設直線與平面成角為，

所以直線與平面所成角的正弦值為．

（Ⅲ）設是上一點，且， ，因此點．

．由，解得．

所以在棱上存在點使得 ，此時．