Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）當時， 恒成立，求范圍；

（Ⅱ）方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：1）求出函數的導數，求出函數的單調區間，求出函數的最大值，從而求出k的范圍即可；（2）lnx+x=0時，不合題意，當lnx+x≠0時，m= 有唯一解，此時x＞x0，記h（x）=，根據函數的單調性求出m的值即可．

解析：

（1）a=2時，f（x）=lnx﹣x2+x，

f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=﹣2x+1，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故f（x）max=f（1）=0，

若f（x）≤k恒成立，

則k≥0；

（2）方程mf（x）=（1﹣）x2有唯一實數解，

即m（lnx+x）=x2有唯一實數解，

當lnx+x=0時，顯然不成立，設lnx+x=0的根為x0∈（，1）

當lnx+x≠0時，m=有唯一解，此時x＞x0

記h（x）=，

h′（x）=,

當x∈（0，1）時，x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，

當x∈（1，+∞）時，x（x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，

∴h（x）在（x0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．

∴h（x）min=h（1）=1，

當x∈（x0，1）時，h（x）∈（1，+∞），

當x∈（1，+∞）時，h（x）∈（1，+∞），

要使m=有唯一解，應有m=h（1）=1，

∴m=1．