Question

已知函數
(1)當時,如果函數僅有一個零點,求實數的取值范圍.
(2)當時,比較與1的大小.
(3)求證:

Answer 1

（1）
（2）①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即
（3）利用（2）的結論或數學歸納法證明

試題分析：（1）當時，，定義域是，     1分
，
令，得或．       2分
當或時，，當時，，
函數在、上單調遞增，在上單調遞減．     4分
的極大值是，極小值是．
當時，；當時，，
當僅有一個零點時，或．
∴的取值范圍是       5分
（2）當時，，定義域為．
令，
，
在上是增函數．        7分
∵
∴①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即．     9分
（3）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，  
．     12分
，．      14分
(法二)①當時，．
，，即時命題成立．      10分
②假設時，命題成立，即．
則當時，
．
根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．   13分
因此，由①②知不等式成立．         14分
點評：導數是研究函數性質的有力工具，要靈活運用解決問題，利用數學歸納法證明不等式時要注意放縮不等式的應用.