Question

如圖，已知正方形ABCD與矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=，DF=1，P是線段EF上的動點．
（Ⅰ）若點O為正方形ABCD的中心，求直線OP與平面ABCD所成角的最大值；
（Ⅱ）當點P為EF的中點時，求直線BP與FA所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當P是線段EF的中點時，OP⊥平面ABCD，直線OP與平面ABCD所成的角最大，當P是線段EF的端點時，OP與平面ABCD所成的角最小．
（Ⅱ）FO∥PB，∠AFO是直線BP與FA所成的角，解直角三角形AFO，求出此角的正弦值．
（Ⅲ）取EF的中點P，∠APC是二面角A-EF-C的平面角，通過計算三角形APC的邊長求出∠APC的大小．
解答：解：（Ⅰ）連接OP．設OP與平面ABCD所成角為α，則．
當P是線段EF的中點時，OP⊥平面ABCD，直線OP與平面ABCD所成的最大角是．（4分）
（Ⅱ）連接AF、FC、OF．
易證FO∥PB，
∴∠AFO是直線BP與FA所成的角．（5分）
依題意，在等腰△AFC中，FO⊥AC，△AFO為直角三角形．
∵AD=，DF=1，
∴AF=．又AO=，
∴在Rt△AOF中，．（8分）
（Ⅲ）連接AE、EC，則AF=FC=AE=EC=．取EF的中點P，連接AP、CP，AP⊥EF，CP⊥EF，
則∠APC是二面角A-EF-C的平面角．（11分）
則等腰△AEF≌△CEF，
∴在△APC中，AP=CP=．
又AC=2，
∴△APC是直角三角形．
且．
∴二面角A-EF-C的大小是（14分）
點評：本題考查線線角、線面角、二面角的求法．