Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，
底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD.
(1)求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證明略 (2) 存在E點使CE∥平面PAB，此時E為PD的中點.

（1） 設PA=1，由題意BC=PA=1，AD=2.

∵PA⊥平面ABCD，
∴PB與平面ABCD所成的角為∠PBA=45°,
∴AB=1,由∠ABC=∠BAD=90°,
易得CD=AC=，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
又CD平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD.
（2）存在點E使CE∥平面PAB.
分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示，
則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），
設E（0，y，z），則=（0，y，z-1），
=（0，2，-1）.
∵∥，∴y·（-1）-2（z-1）="0"                                        ①
∵=(0,2,0）是平面PAB的法向量，
又=（-1,y-1,z），若使CE∥平面PAB，
則⊥.
∴（-1，y-1，z）·（0，2，0）=0，
∴y=1代入①，得z=.
∴E是PD的中點，
∴存在E點使CE∥平面PAB，此時E為PD的中點.