Question

(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

已知點(diǎn)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程；

(2)直線過(guò)點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B(點(diǎn)A或B不在x軸上)，分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線的垂線，對(duì)應(yīng)的垂足分別為，試判斷點(diǎn)F與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系(指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況)；

(3)記，，(A、B、是(2)中的點(diǎn))，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使成立．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

進(jìn)一步思考問(wèn)題：若上述問(wèn)題中直線、點(diǎn)、曲線C：，則使等式成立的的值仍保持不變．請(qǐng)給出你的判斷            (填寫(xiě)“不正確”或“正確”)(限于時(shí)間，這里不需要舉反例，或證明)．

Answer 1

(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

解　(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，                                                        1分

依據(jù)題意，有  

，化簡(jiǎn)得．                                   3分

　　因此，動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程是：．                 ……………………4分

(2)  點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部．

理由：由題意可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線的斜率為0時(shí)，不合題意，故可設(shè)直線：，如圖所示．                                  5分

聯(lián)立方程組，可化為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足．                           7分

又、，可得點(diǎn)、．

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小來(lái)判斷，也可以計(jì)算點(diǎn)與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來(lái)加以判斷．

因，，則=．9分

   于是，為銳角，即點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部．                          10分

(3)依據(jù)(2)可算出，，

則 

       

        ，

   

      

       ．                              14分

所以，，即存在實(shí)數(shù)使得結(jié)論成立．                  15分

對(duì)進(jìn)一步思考問(wèn)題的判斷：正確．                                18分