Question

如圖，四棱錐中，底面為梯形，，，，平面平面，．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）是否存在點，到四棱錐各頂點的距離都相等？并說明理由.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析；（3）存在

【解析】

試題分析：（1）線面平面平行的證明，關鍵是在平面內找到一條直線與要證明的直線平行，根據，再根據直線BC，直線AD的位置關系，即可得線面平行.線面平行還有一種就是轉化為面面平行.線面平行的證明就是這兩種判斷的相互轉化.

（2）要證線線垂直轉化為線面垂直，由題意可知，通過證明直線AC垂直于平面PAB，由面面垂直可知，只需證明直線AC垂直于AB，在三角形ABC中，由所給條件即可得到AC垂直于AB.

（3）由（2）可知直線PB垂直于平面PAC.所以可得直線PB垂直于直線PC.通過三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直線BD垂直于DC.所以BC是的斜邊，即BC的中點就是所要找的Q點.

試題解析：（1）證明：底面為梯形，，

又平面，平面，

所以平面.

（2）證明：設的中點為，連結，在梯形中，

因為 ，，

所以 為等邊三角形，，

又 ，

所以 四邊形為菱形.

因為，，

所以，

所以，，

又平面平面，是交線，

所以 平面，

所以 ，即.

（3）【解析】
因為 ，，所以平面.

所以，，

所以 為直角三角形，.

連結，由（2）知，

所以 ，

所以 為直角三角形，.

所以點是三個直角三角形：、和的共同的斜邊的中點，

所以 ，

所以存在點（即點）到四棱錐各頂點的距離都相等.

考點：1.線面平行的判定.2.線線垂直的判定.3.直角三形的性質.4.歸納推理論證的能力.