Question

（本小題滿分13分）

設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；

（Ⅱ）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，

兩焦點坐標分別為，；

當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，

兩焦點坐標分別為，.

（Ⅱ）故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有.

【解析】本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系，要求能正確理解橢圓的標準方程及其幾何性質，并能熟練運用代數方法解決幾何問題，對運算能力有較高要求。

（Ⅰ）如圖1，設，，則由，

可得，，所以，.            ①

因為點在單位圓上運動，所以.                  ②

將①式代入②式即得所求曲線的方程為.        

因為，所以

當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，

兩焦點坐標分別為，；

當時，曲線是焦點在軸上的橢圓，

兩焦點坐標分別為，.                           

（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設，，則，，

直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得

.

依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達定理可得

，即.

因為點H在直線QN上，所以.

于是，.     

而等價于，

即，又，得，

故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有.

解法2：如圖2、3，，設，，則，，

因為，兩點在橢圓上，所以 兩式相減可得

.                          ③             

依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，

故. 于是由③式可得

.                              ④

又，，三點共線，所以，即.                

于是由④式可得.

而等價于，即，又，得，

故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意的，都有.