Question

已知函數f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然對數的底數．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數；
（2）若關于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）已知正數a滿足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，試比較e^a-1與a^e-1的大小，并證明你的結論．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數；
（2）利用參數分離法，將不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，進行轉化求最值問題即可求實數m的取值范圍；
（3）構u造函數，利用函數的單調性，最值與單調性之間的關系，分別進行討論即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），即函數：f（x）是R上的偶函數；
（2）若關于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤

e-x-1

ex+e-x-1

在（0，+∞）上恒成立，
設t=e^x，（t＞1），則m≤

1-t

t2-t+1

在（1，+∞）上恒成立，
∵

1-t

t2-t+1

=-

t-1

(t-1)2+(t-1)+1

=-

1

t-1+ 1 t-1 +1

≥-

1

3

，當且僅當t=2時等號成立，
∴m≤-

1

3

．
（3）令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x），
則g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），
當x＞1，g′（x）＞0，即函數g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
故此時g（x）的最小值g（1）=e+

1

e

-2a，
由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，
故e+

1

e

-2a＜0，
即a＞

1

2

（e+

1

e

），
令h（x）=x-（e-1）lnx-1，
則h′（x）=1-

e-1

x

，
由h′（x）=1-

e-1

x

=0，解得x=e-1，
當0＜x＜e-1時，h′（x）＜0，此時函數單調遞減，
當x＞e-1時，h′（x）＞0，此時函數單調遞增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（e-1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴當x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）時，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0，
當x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）時，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，對任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（

1

2

（e+

1

e

），e）⊆（1，e）時，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，從而a^e-1＞e^a-1，
②當a=e時，a^e-1=e^a-1，
③當a∈（e，+∞）⊆（e-1，+∞）時，當a＞e-1時，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，從而a^e-1＜e^a-1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判定，函數單調性和最值的應用，利用導數是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大．