Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x-4|+|x+2|
（Ⅰ）求函數y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|-|a-3|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）去絕對值可得f（x）=

-3x+2     x＜-2 6-x     -2≤x＜2 3x-2     x≥2

，分段求最值可得；
（Ⅱ）問題等價于|a+4|-|a-3|≤f（x）_min=4，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）由于f（x）=|2x-4|+|x+2|=

-3x+2     x＜-2 6-x     -2≤x＜2 3x-2     x≥2

可得當x＜-2時，-3x+2＞8，當-2≤x＜2時，4＜6-x≤8，
當x≥2時，3x-2≥4，
所以函數的最小值為f（2）=4．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|-|a-3|恒成立，則|a+4|-|a-3|≤f（x）_min=4，
又解不等式|a+4|-|a-3|≤4可解得a≤

3

2

．所以a的取值范圍為a≤

3

2

點評：本題考查絕對值不等式的解法，涉及函數恒成立問題，屬中檔題．