Question

（本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）線段上是否存在點，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由．1

Answer 1

（1）直線與平面所成角的正弦值為．
（3）點滿足時，有// 平面．

本試題主要是考查了空間幾何中點，線，面的位置關系的運用。
（1）因為平面平面，且
所以BC⊥平面，則即為直線與平面所成的角
（1）假設存在點，且時，有// 平面，建立直角坐標系來證明。
解：（1）證明：取中點，連結，．
因為，所以．                           
因為四邊形為直角梯形，，，
所以四邊形為正方形，所以．  
所以平面．    所以 ．           4分
（2）解法1：因為平面平面，且
所以BC⊥平面
則即為直線與平面所成的角
設1C=a，則AB=2a，，所以
則直角三角形CBE中，
即直線與平面所成角的正弦值為．               8分
解法2：因為平面平面，且，
所以平面，所以．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，
則．
所以，平面的一個法向量為．
設直線與平面所成的角為，
所以，           
即直線與平面所成角的正弦值為．       8分
（3）解：存在點，且時，有// 平面．       
證明如下：由，，所以．
設平面的法向量為，則有
所以  取，得．
因為，且平面，所以// 平面．
即點滿足時，有// 平面．               12分
點評：解決的關鍵是利用空間中的法向量來得到線面角的表示，以及平行的證明，屬于基礎題。