Question

如圖，已知E、F為平面上的兩個定點|EF|=6，|FG|=10，且2

EH

=

EG

，

HP

•

GE

=0（G為動點，P是HP和GF的交點）．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系求出點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與直線EF相交于一點C，證明|OC|＜

9

5

（O為EF的中點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．由題設2

EH

=

EG

，

HP

•

EG

=0，|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．由A、B在軌跡上，知

x12

25

+

y12

16

=1，

x22

25

+

y22

16

=1．由此入手能夠證明|OC|＜

9

5

．

解答：解：（Ⅰ）以EF所在的直線為x軸，EF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．
由題設2

EH

=

EG

，

HP

•

EG

=0，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴點P是以E、F為焦點、長軸長為10的橢圓．
故點P的軌跡方程是

x2

25

+

y2

16

=1．…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．
∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．
又A、B在軌跡上，∴

x12

25

+

y12

16

=1，

x22

25

+

y22

16

=1．
即y12=16-

16

25

x12，y22=16-

16

25

x22．
代入整理，得2(x2-x1)•x0=

9

25

(x22-x12)．
∵x₁≠x₂，∴x0=

9(x1+x2)

50

．
∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁+x₂≤10．
∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁+x₂＜10．
∴-

9

5

＜x0＜

9

5

，即|OC|＜

9

5

．…（13分）

點評：本題考查建立適當的平面直角坐標系求出點P的軌跡方程，證明|OC|＜

9

5

．解題時要認真審題，恰當地建立平面直角坐標系，靈活運用圓錐曲線的性質，合理地進行等價轉化．