Question

【題目】已知動圓與直線相切且與圓外切。

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）設第一象限內的點在軌跡上，若軸上兩點，，滿足且. 延長、分別交軌跡于、兩點，若直線的斜率，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）結合題意，可知圓心P的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，建立方程，即可。（2）設出直線SA的方程，代入拋物線方程，用k,m表示M,N的縱坐標，結合，計算m，計算S坐標，即可。

(1)設動圓的半徑為

則圓心P到直線的距離，且，

故圓心到直線的距離為，

由拋物線的定義知，圓心的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，

故軌跡的方程為.

（另法：設動圓的半徑為，圓心為，

則，，化簡得）

（2）

設，由，得，

的斜率和的斜率均存在，且互為相反數

設的斜率為，則直線，

聯立得，

故，，

即（*），

由于的斜率為，將（*）中的換成，

得到點的縱坐標，

故直線的斜率，

故，此時，時，，

所以點的坐標為