Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜

2

）．
（1）當a為何值時，MN的長最小；
（2）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作MP∥AB交BC于點，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

，可求出MN的長，利用配方法即可求出MN的最小值；
（2）取MN的中點G，連接AG、BG，根據二面角的平面角的定義可知∠AGB即為二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．

解答：解：（1）作MP∥AB交BC于點，NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，
依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，∴MN=PQ
∵CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=

2

，CP=BQ=

2

2

a
∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

∵0＜a＜

2

，
∴a=

2

2

，即當M、N分別為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小為

2

2

；
（2）取MN的中點G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即為二面角的平面角α
又AG=BG=

6

4

，所以由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

∴面MNA與面MNB所成的二面角的余弦值為-

1

3

．

點評：本題考查空間距離的計算，考查面面角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．