Question

【題目】已知橢圓和拋物線有公共焦點， 的中心和的頂點都在坐標原點，過點的直線與拋物線分別相交于兩點（其中點在第四象限內）．

（1）若，求直線的方程；

（2）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意設直線的方程為.設出點的坐標可求得 .則直線的方程為.

(2)由題意可得直線的斜率存在，設出直線方程，由對稱性聯立直線與拋物線的方程可得橢圓的長軸長的最小值為

試題解析：

解：（1）解法一:由題意得拋物線方程為.

設直線的方程為.

令， ，其中. 由,得.

聯立，可得,，解得,,

.

直線的方程為.

(2)設,直線， 點在拋物線上,

直線的斜率存在,

關于直線對稱,所以.解得.

故代入拋物線，可得， .

直線的方程為或.

設橢圓為. 聯立直線和橢圓,消去整理得

，解得.

則，即.橢圓的長軸長的最小值為