【題目】已知橢圓
：
的左右頂點分別為
，
，點
是橢圓上異于
、
的任意一點，設直線
，
的斜率分別為
、
，且
，橢圓的焦距長為4.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點
的直線
交橢圓于
、
兩點，分別記
，
的面積為
、
，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）設出點
的坐標,代入橢圓方程,根據
,可得方程組,求得
的等量關系,結合焦距長即可求得,得橢圓方程.
（2）討論直線斜率存在與不存在兩種情況.當斜率不存在時,易求得
,即可求得
;當斜率存在時,用點斜式表示出直線方程,聯立橢圓,整理成關于
的一元二次方程,利用韋達定理表示出
.結合直線方程,即可表示出.將等式變形,結合基本不等式即可求得最大值.
（1）橢圓
：
,點是橢圓上異于
、
的任意一點
設點
,則
,①
∵
,②
∴聯立①②得
,
∴
,
又∵
,∴
,
∴
,即
,
∴
,∴
,
∴橢圓的標準方程為.
（2）由題意知
,
①當直線
的斜率不存在時,
,于是
,
②當直線的斜率存在時,設直線：
,
聯立
,得
.
設
,
,根據韋達定理,得
,
,
于是
,
當且僅當
時等號成立,
綜上,的最大值為.
名師導航單元期末沖刺100分系列答案
名校名卷單元同步訓練測試題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，
底面，
，
為線段
的中點．
（1）若
為線段
上的動點，證明：平面
平面
；
（2）若為線段，
，
上的動點（不含
，
），
，三棱錐
的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從拋物線
上任意一點P向x軸作垂線段，垂足為Q，點M是線段
上的一點，且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)設直線
與軌跡c交于
兩點，T為C上異于的任意一點，直線
，
分別與直線
交于
兩點，以
為直徑的圓是否過x軸上的定點？若過定點，求出符合條件的定點坐標；若不過定點，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中正確的是（ ）
①已知隨機變量
服從正態分布
，且
，則
；
②相關系數r用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，
越大，相關性越弱；
③相關指數
用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好；
④在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區域越狹窄，其模型擬合的精度就越高.
A.①②B.①④C.②③D.③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；
（2）若
是直線上一點，
是曲線上一點，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，頂點
在底面
上的投影
在棱
上，
，
，
，
為
的中點．
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）已知點
為
的中點，在棱上是否存在點
，使得
平面
，若存在，求
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數學老師給出一個函數
，甲、乙、丙、丁四個同學各說出了這個函數的一條性質：甲：在
上函數單調遞減；乙：在
上函數單調遞增；丙：在定義域R上函數的圖象關于直線
對稱；丁：
不是函數的最小值．老師說：你們四個同學中恰好有三個人說的正確．那么，你認為____說的是錯誤的．
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