Question

【題目】已知函數 ． （I）當a=1時，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（I） ，定義域為（0，+∞）． ∵ ，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
當x≥1時，f（x）≥f（1）=1；
（Ⅱ）∵ ，
∵若f（x）存在單調遞減區間，
∴f′（x）＜0有正數解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．
①當a=0時，明顯成立．
②當a＜0時，y=ax2+2（a﹣1）x+a為開口向下的拋物線，ax2+2（a﹣1）x+a＜0總有x＞0的解；
③當a＞0時，y=ax2+2（a﹣1）x+a開口向上的拋物線，
即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．
因為x1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有兩正根．
，解得 ．
綜合①②③知： ．
（Ⅲ）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當x＞1時， ，即 ．
令 ，則有 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（法二）當n=1時，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴ ，即n=1時命題成立．
設當n=k時，命題成立，即 ．
∴n=k+1時， ．
根據（Ⅰ）的結論，當x＞1時， ，即 ．
令 ，則有 ，
則有 ，即n=k+1時命題也成立．
因此，由數學歸納法可知不等式成立
【解析】（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調性，利用其單調性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得 ，若f（x）存在單調遞減區間，需h′（x）＜0有正數解．從而轉化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過對a分 a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；
（Ⅲ）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當x＞1時， ，再構造函數，令 ，有 ，從而 ，問題可解決；（法二）可用數學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1 ，成立；設當n=k時， ，再去證明n=k+1時， 即可（需用好歸納假設）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．