Question

已知左焦點為F(-1,0)的橢圓過點E（1,）.過點P(1,1)分別作斜率為k₁,k₂的橢圓的動弦AB,CD,設M,N分別為線段AB,CD的中點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若P為線段AB的中點,求k₁;
(3)若k₁+k₂=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標.

Answer 1

(1) +=1   (2) -   (3)證明見解析  （0,-）

解:(1)依題設c=1,且右焦點F′(1,0).
所以2a=|EF|+|EF′|=+
=2,
b²=a²-c²=2,
故所求的橢圓的標準方程為+=1.
(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則+=1,①
+=1.②
②-①,得+=0.
所以k₁==-=-=-.
(3)依題設,k₁≠k₂.
設M(x_M,y_M),
又直線AB的方程為y-1=k₁(x-1),
即y=k₁x+(1-k₁),
亦即y=k₁x+k₂,
代入橢圓方程并化簡得(2+3)x²+6k₁k₂x+3-6=0.
于是,x_M=,y_M=,
同理,x_N=,y_N=.
當k₁k₂≠0時,
直線MN的斜率k==
=.
直線MN的方程為y-=(x-),
即y=x+(·+),
亦即y=x-.
此時直線過定點（0,-）.
當k₁k₂=0時,直線MN即為y軸,
此時亦過點（0,-）.
綜上,直線MN恒過定點,且坐標為（0,-）.