Question

已知定點A(－2,0)和B(2,0)，曲線E上任一點P滿足|PA|－|PB|＝2.
（1）求曲線E的方程；
（2）延長PB與曲線E交于另一點Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長PB與曲線E交于另一點Q，如果存在某一位置，使得從PQ的中點R向l作垂線，垂足為C，滿足PC⊥QC，求a的取值范圍。

Answer 1

（1）x²－＝1(x＞0) ；（2）|PQ|_min＝6;(3) a≤－1.

試題分析：（1）由題意可知P點軌跡為雙曲線，由a，c求出b的值，則方程可求；
（2）當直線斜率存在時，設出直線方程，和雙曲線方程聯立后求得判別式大于0，再由兩根之和大于0，且兩根之積大于0聯立求得k的范圍由弦長公式寫出弦長，借助于k的范圍求弦長的范圍，當斜率不存在時直接求解；
（3）由題意，|CR|＝|PQ|。若直線PQ不垂直于x軸，由|CR|＝－a＝－a
∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1，若直線PQ垂直于x軸，這時|PQ|＝6，|CR|＝2－a ∴a＝－1， 綜上a≤－1.
試題解析：解：（1）由雙曲線的定義得：曲線E是以A， B為焦點的雙曲線的右支，所以曲線E的方程為：x²－＝1(x＞0)                          2分
（2）若直線PQ不垂直于x軸，設直線PQ的方程為：y＝k(x－2)
由，得(3－k²)x²＋4k²x－(4k²＋3)＝0        3分
設p(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，這里x₁＞0，x₂＞0
則：   得：k²＞3 6分
|PQ|＝|x₁－x₂|＝＝6＋＞6        6分
若直線PQ垂直于x軸，則直線PQ的方程為x＝2。        8分
這時P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，
綜上：|PQ|_min＝6  9分
（3）據題意得：|CR|＝|PQ|。若直線PQ不垂直于x軸，
由|CR|＝－a＝－a                        10分
∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1  12分
若直線PQ垂直于x軸，這時|PQ|＝6，|CR|＝2－a
∴a＝－1.                                         13分
綜上a≤－1.                                        14分