Question

在等差數列{a_n}中，a₃＋a₄＋a₅＝84，a₉＝73.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)對任意m∈N^*，將數列{a_n}中落入區間(9^m,9^2m)內的項的個數記為b_m，求數列{b_m}的前m項和S_m.

Answer 1

（1）9n－8(n∈N^*)．（2）

(1)因為{a_n}是一個等差數列，
所以a₃＋a₄＋a₅＝3a₄＝84，所以a₄＝28.
設數列{a_n}的公差為d，
則5d＝a₉－a₄＝73－28＝45，故d＝9.
由a₄＝a₁＋3d得28＝a₁＋3×9，即a₁＝1，
所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N^*)．
(2)對m∈N^*，若9^m＜a_n＜9^2m，
則9^m＋8＜9n＜9^2m＋8，
因此9^m－1＋1≤n≤9^2m－1，
故得b_m＝9^2m－1－9^m－1.
于是S_m＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_m＝(9＋9³＋…＋9^2m－1)－(1＋9＋…＋9^m－1)
＝.